考研数学公式定理大总结

一、微积分部分

Part I 极限与连续

泰勒公式

任何可导函数 ，
时

基本微分公式

常用等价无穷小

函数极限定义

当 时，有

数列极限数列极限

n为自然数， n→,专指n→+,而略去"+"不写
当时，有

极限的性质

唯一性、局部有限性、局部保号性

极限的唯一性

若，则唯一

极限的局部有限性

若，则当时恒有

极限的局部保号性

若则时，
若则时，

函数极限计算三板斧

  • 等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。

  • 这个顺序来源于杨超。

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七种不定形

  • , , , , , ,
    【注】 0不是真的0， 1不是真的1

数列极限运算法则

  1. 若易于连续化，转化为函数极限计算
    依据：
    则
  2. 若不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）
  3. 若由递推式 给出，用“单调有界准则”
    给出若单增且有上界或者单减且有下界收敛

夹逼准则

它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

洛必达法则

  • 隐含条件：f(x),g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在

设为包含某点的区间，为定义在上的函数。若对于所有属于而不等于的，有：
，；则。
和分别称为的下界和上界。若在的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于，这个定理还是可用的。

极限的连续与间断的基本常识

任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：

  • 分段函数的分段点（可能间断）

  • 无定义点（必然间断）

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连续的定义

  • 若则称在处连续
  • Note：三者相等才连续

间断的定义

  • 设在点的某去心领域有定义
    1. 1⃣️
    2. 2⃣️
    3. 3⃣️

  1. 第一类间断点1⃣️2⃣️均存在，且

    1. Cannot read properties of null (reading '4')Math input error
    2. Cannot read properties of null (reading '4')Math input error

  2. 第二类间断点1⃣️2⃣️至少一个不存在（目前为止考研只考了1⃣️2⃣️均不存在）

    1. 若不存在无穷间断点
    2. 若不存在震荡震荡间断点

【Note】

  1. 单侧定义不讨论间断性
  2. 若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论

Part II 导数与微分

一元函数微分的定义

记为

一元函数定义注意点

  1. 左右有别
    • 右导数
    • 左导数
    • $因此{f}‘(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}’{-}(x{0}={f}'{+}(x{0})$
  2. 广义化狗
    • 广义化狗
    • 狗狗狗
  3. 一静一动
    • 就是典型错误
  4. 换元法
    • 换元法，令

基本求导公式

基本求导方法

复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导

复合函数求导

复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数

隐函数求导

显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)

对数求导法

对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。

反函数求导

参数方程求导

为参数

显函数

解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。

隐函数

隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如是由确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如。

Part III 中值定理与一元微分学应用

1. 中值定理

有界性定理

设f(x)在[a,b]连续，则：
使得

最值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：
当时，其中分别为在上的最小最大值

介值定理

设f(x)在[a,b]连续，则：
当时，则使得

零点定理

设f(x)在[a,b]连续，则：
当时，则使

费马定理

设在处可导取极值

罗尔定理

设满足以下三个条件连续可导，则，使得

拉格朗日中值定理

设满足以下两个条件连续内可导，则，使得

柯西中值定理

1
2

设f(x)，g(x)满足 \begin{cases}1) & [a,b]连续\\ 2) & (a,b)内可导 \\ 3) &{g}'(x)\neq0 \end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系

柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理

涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理

有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理

罗尔定理的应用范式

罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径

关键：
两个途径：

  1. 求导公式逆用法
  2. 积分还原法
    1. 将欲证结论中的改为
    2. 积分，令c=0
    3. 移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)

2. 单调性与极值

导数的几何应用有哪些

三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线

极值的定义需要注意的地方

必须是双侧定义，否则不考虑极值

广义极值

的某个邻域，都有，则为的真正极大值点

狭义极值（真正极值）

的某个【去心】邻域，都有，则为的真正极大值点

单调性与极值判别

  1. 若，则在上单调递增；若，则在上单调递减；
  2. 若在处连续，在内可导，则当时，当时，，极小当时，当时，，极大若在与内不变号不是极值
  3. 若在处二阶可导，，极小值；若在处二阶可导，，极大值

3. 零碎问题

函数的凹凸性

有，是凹曲线，是凸曲线

函数拐点

连续曲线凹凸弧的分界点

拐点判别法

设f(x)在I上二阶可导

  1. 若，是凹的若，是凸的
  2. 若在点的左右邻域变号为拐点

铅直渐近线

若或，则称为的一条铅直渐进线
出现在：无定义点 || 开区间端点

水平渐近线

若或，则称为的一条水平渐进线

斜渐近线

若或，且或则称为的一条斜渐进线

函数的最值的求法

  1. 对于函数，在上找出三类点驻点不可导点端点
    比较大小取其最大最小值为最大最小值
  2. 若在上求出唯一极大极小值点，则由实际背景确定最大小值

Part IV 一元函数积分学

不定积分定义

使成立，则称在在上的一个原函数。全体原函数就叫不定积分，记成：

定积分定义

不定积分与定积分的几何意义

为函数族，为面积代表值

牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式

基本积分公式

，

点火公式(华里士公式)

  • 为正整数为大于的正奇数
  • 偶数时点火成功乘 ，奇数时点火失败以 1 打止

积分-换元法的三板斧

  • 当凑微分法不成功时，考虑换元，从而使题目从复杂变简单

  1. 三角换元

    • 三角换元当被积函数含有
    4. Note：若见到，要先化为，，，再做三角换元

  2. 倒带换
    可用于分子次数明显低于分母次数的情况

  3. 复杂部分换元——令复杂部分=t
    ，，，根式代换，指数代换，对数代换，反三角函数代换

分部积分法

前面的积分困难，后面的积分简单
反对幂指三，排前面的求导，排后面的积分

有理函数积分法

  1. 定义:形如的积分
  2. 将拆成若干最简有理分式之和
  3. 拆分原则
    1. 分解出产生项：
    2. 分解出产生项：

定积分的计算

  1. 先按四大积分法求出F(x)
  2. 带入上下限，要注意换元时的细节：
    对于令；且要求连续，且不超过区间

用积分表达和计算平面图形的面积

所围成的平面图形的面积：

用积分表达和计算旋转体的体积

  1. 与及轴所围图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：
  2. 与及轴所围图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：柱壳法

用积分表达和计算函数的平均值—y(x)在[a,b]上的平均值是

在上的平均值

Part V 多元函数微分学

多元函数微分的极限定义

设的定义域为是的聚点内点边界点当时，恒有

多元函数微分的连续性

则称在（）处连续
【注】叫不连续，不讨论间断类型

多元函数微分的偏导数 z=f(x, y)

多元函数微分-链式求导规则

设。称叫做自变量，叫做中间变量叫因变量

多元函数-高阶偏导数

多元函数-无条件极值-必要条件

设在点处一阶偏导数存在取极值，则
【注】适用于三元及以上(常考2-5元)

多元函数-无条件极值-充分条件

极小值点极大值点不是极值点该法失效，另谋它法（概念题）

  • Note：只适用于二元

多元函数-条件极值-求法

  1. 提法：求目标函数在约束条件下的极值
  2. 拉氏乘数法：
    1. 构造辅助函数，均可能取
    2. 令
    3. 解方程组，比较取最大、最小者为最大值，最小值

Part VI 重积分

二重积分的普通对称性

  1. 设关于轴对称，，若偶，若，奇
  2. 设关于轴对称，，若偶，若，奇

二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）

轮换对称性：
若将中的与对调，可推出不变，则：，此即为轮换对称性

二重积分直角坐标系下的积分方法

  1. 型区域（上下型）
    后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线
  2. 型区域（左右型）

二重积分极坐标系下的积分方法

Part VII 微分方程

微分方程的概念

  2. 阶数一方程中y的最高阶导数的阶数
    如：就是二阶微分方程，一阶高阶
  3. 通解 — 解中所含独立常数的个数=方程的阶数

一阶微分方程求解-变量可分离型

形如

一阶微分方程求解-齐次型

形如

一阶微分方程求解-一阶线性型

形如为已知函数

二阶常系数齐次D.E.求解： p,q为常数

  1. 写

二阶常系数非齐D.E.求解：

  1. 型
    1. 解法
      1. 解的结构：通解齐次通解非齐次特解
      2. 求齐次通解：按照前面的方法求出
      3. 求特解：
        1. 设（其中由得到）
        2. 由k与特征方程的根的情况决定是否要在后面乘上x或
          1. ：设
          2. ：设（多乘一个x）
          3. ：设（多乘两个x）
        3. 求出$y’^,\ y’'^$，带入原方程，化简，解出待定系数a，b
        4. 将a，b带入，即得特解
      4. 组合：最后结果为 齐次通解+特解

二 线性代数部分

Part I 行列式

行列式的定义与性质

  • 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

二阶行列式定义

定义：二阶行列式是以两个行向量为领边的平行四边形的面积

三阶行列式定义

定义：三阶行列式是以三个行向量为棱边的平行六面体的体积

n阶行列式定义

n阶行列式是由n维向量组成，其结果为n维图形的体积

行列式重要观点

组成行列式的向量线性无关组成行列式的向量线性相关

行列式的7大性质

七大性质习惯上列向量
其中，称为的转置

  1. 行列互换，其值不变，
  2. 行列式中某行（列）元素全为0，则行列式为0
  3. “倍乘”性质 行列式中某行（列）元素有公因子k(k!=0),则k可以提到行列式外面，即：
  4. “互换”性质
    行列式中某行（列）元素是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即：

    【注】等式从左到右是两个 行列式相加的运算，如果两个行列式的其他元素对应相等，之育雏一行（列）不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行（列）对应相加即可。
  5. “互换”性质
    行列式中两行（列）互换，行列式的值反号
  6. 行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为0
  7. “倍加”性质
    行列式中两行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变

行列式展开定理

  1. 余子式
    在n阶行列式中，去掉元素所在的第i行，第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记成,即：

  2. 代数余子式
    余子式乘后称为代数余子式，记为即，显然也有

  3. 行列式按某一行（列）展开的展开公式
    行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即：

几个重要的行列式

1. 上下三角形行列式

2. 副对角线行列式

3. 范德蒙行列式

4. 行和或列和相等的行列式（行和是指每一行元素相加的和，列和同理）

Part II 矩阵

矩阵的定义

由m*n个数，排成m行n列的矩阵表格

称为一个的矩阵，简记为或, 当时，称为n阶方阵。
两个矩阵,若,则称与为同型矩阵

矩阵的基本运算

  1. 相等：
    且即，是同型矩阵，且对应元素相等
  2. 加法：两个矩阵是同型矩阵时可以相加，即：
    其中，即对应元素相加
  3. 数乘矩阵：设K是一个数，A是一个m*n矩阵，数K和A的乘积称为数乘矩阵，即A的每个元素都乘以K
  4. 矩阵的乘法：
    设是矩阵,是矩阵(矩阵的列数必须与矩阵B的行数相等),则可乘，乘积是矩阵，记。的第i行第j列元素是的第i行的s个元素与B的第j列的s个对应元素两两相乘之和，即：
  • 矩阵乘法满足下列运算规律：
  1. 结合律：
  2. 分配律：
  3. 数乘与矩阵乘积的结合律：

    【注】矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即

初等变换

  1. 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
  2. 互换矩阵中某两行(列)的位置
  3. 将某行(列)的k背加到另一行(列)
    以上三种变换称为矩阵的三种初等行(列)变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行(列)变换

可逆阵（方）定义

对于、，若，则，可逆，且，，，

可逆阵（方）性质-5个

  4. ，即的转置的逆等于的逆的转置
  5. ，即的逆的行列式等于的行列式分之一

伴随阵定义

定义
为的的代数余子式，任何阶矩阵必有伴随矩阵

伴随阵计算

计算
计算即乘的伴随的伴随乘的行列式乘以单位矩阵

伴随阵常用结论及其推论（|A|!=0 <=> |A| 可逆）- 6个

初等阵定义

单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵，叫初等阵
，互换初等阵，倍加初等阵，倍乘初等阵

初等阵性质

  2. 左行右列定理
    初等阵P左乘（右乘）A得PA（AP），就是对A做了一次与P相同的初等行（列）变换

求A的逆-伴随矩阵法

多用于、阶
求，求，写

求A的逆-初等变换法

任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行变换，化成同阶单位阵E
即

矩阵方程定义


基础命题：

  1. 若可逆
  2. 若可逆
  3. 、可逆

高数部分补充

函数

对数函数

  1. 是的反函数
  2. 单调性：当时，单调增加，当时，单调减小
  3. 常用的对数函数：自然对数，，
  4. 特殊函数值：
  5. 极限：
  6. ！！！常用公式：

反正切函数，反余切函数

  1. 反正切函数—y=arctanx, 反余切函数—y=arccotx
  2. 性质：
  3. 特殊函数值：
  4. 极限：

三个重要的分段函数-分段函数

  1. 定义：称为绝对值函数
  2. 性质：
    1. 该函数在x=0处连续（没有间断），但是不可导（有折点，不光滑）。后面会看到，这个看起来不起眼的函数，会多次在我们判别似是而非的概念时给我们援手。
    2. 绝对值函数和最大、最小值函数有某种亲密关系，如下：
      设与为连续函数，如果令则：即：

三个重要的分段函数-符号函数

  1. 定义：称为符号函数，对于任何实数，有

三个重要的分段函数-取整函数

  1. 定义：y=[x]称为取整函数，先给出定义，设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。如[0.99]=0, %[\pi]%=3,[-1]=-1,[-1.99]=-2,因此，取整函数y=[x]的定义域为R，值域为Z，在x为整数值处发生跳跃
  2. 注意点：
    3. 考得最多：

常用基础知识

数列基础

  1. 等差数列：
    • 通项公式：
    • 前n项的和：
  2. 等比数列：
    • 通项公式：
    • 前n项的和：
    • 常用：
  3. 一些数列前n项的和：

三角函数基础

  1. 三角函数基本关系：

  2. 诱导公式

函数角
函数角
-
-
-
-
函数角所在象限 第一象限 第二象限 第三象 第四象限
2\pi$

倍角公式

半角公式

和差公式

  4. ）

积化和差公式

  1. （）（）
  2. （）（）
  3. （）（）
  4. （）（）

和差化积公式

万能公式

  1. 若，则

指数运算法则

其中，是正实数，是任意实数

对数运算法则

一元二次方程基础

  • 一元二次方程：
  1. 根的公式：
  2. 根与系数的关系：
  3. 判别式：
    1. ，方程有两个不等的实根
    2. ，方程有两个相等的实根，
    3. ，方程有两个共轭的复根。
  4. 抛物线： 的顶点：

因式分解公式

  8. (n是正整数)
  9. n是正偶数时，
  10. n是正奇数时，

阶乘与双阶乘

  1. ，规定